WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 3 december 2020

Tellen bij een smartphone

Hoeveel inlogcombinaties zijn er mogelijk bij een smartphone met 9 stippen, waarbij je zelf een patroon moet tekenen? Je moet blijkbaar minstens 4 stipjes "bezoeken", je kan elke stip maar 殚n keer "bezoeken" en er is geen verschil tussen 1-2-3 of 1-3 (de smartphone 'denkt' dan dat je ook stip 2 bezocht hebt omdat deze op de verbindingslijn tussen 1 en 3 ligt). Op internet vond ik al dat er 9.8.7.6 + 9.8.7.6.5 + 9.8.7.6.5.4 + 9.8.7.6.5.4.3 + 9.8.7.6.5.4.3.2 + 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 985824 mogelijkheden zijn voor een code van minstens 4 en maximaal 9 stipjes, maar als je ook nog met de voorwaarde rekening houdt dat de smartphone het verschil niet ziet tussen b.v. 1-2-3 en 1-3 dan zou dat aantal slinken naar 389112 en daar kom ik niet uit.

OPA
22-3-2019

Antwoord

Het is een hoop gepuzzel
Als ik het goed begrijp, komt het erop neer dat een groepje van 3 cijfers dat op 殚n lijn ligt, niet meetelt. Dit zijn 16 groepjes:

123 en 321
456 en 654
789 en 987
147 en 741
258 en 852
369 en 963
159 en 951
357 en 753

Laten we als voorbeeld eens kijken naar codes van 5 verschillende cijfers. Zonder verdere randvoorwaarden zijn er 9򊤋򉼱=15120 mogelijke codes. We berekenen hoeveel van deze codes moeten vervallen:
Het groepje 123 kan op 3 posities voorkomen:

123.. of .123. of ..123

Op de puntjes moeten nog twee verschillende cijfers worden ingevuld (keuze uit 4 t/m 9). Er zijn nog 6 cijfers over, voor elke positie zijn dus 65=30 mogelijkheden. Met 3 mogelijke posities voor dit groepje komen we op 330=90 inlogcombinaties van 5 cijfers waarin het groepje 123 voorkomt.
Dezelfde berekening kunnen we doen voor elk van de 16 'verboden' groepjes. Van de codes van 5 cijfers vervallen dus 1690= 1440 mogelijkheden.
Zo kom ik op het aantal mogelijke codes van 5 cijfers:
15120-1440=13680.

Op gelijksoortige wijze kan je berekenen hoeveel codes vervallen bij 6 of meer cijfers. Dit wordt wel meer werk: bij een code van 6, 7 of 8 cijfers kunnen 1 of 2 'verboden' groepjes voorkomen, bij een code van 9 cijfers zelfs 3. Het wordt zorgvuldig uitsplitsen hoeveel mogelijke verboden codes er zijn met 1, 2 of 3 verboden groepjes.

Let goed op bij codes als:
12365
Dit is 殚n van de zojuist berekende 1440 verboden codes van 5 cijfers. De telefoon ziet dit als:
1365
Dit is een toegestane code van 4 cijfers. Wanneer je zorgvuldig de mogelijkheden van 4 cijfers telt, dan komt dit dus toch weer goed.

Het kan zijn dat er geen verboden codes van 4 cijfers zijn. Neem als voorbeeld de code 1236. Het groepje 123 zou verboden zijn, omdat het groepje 123 op 殚n lijn ligt en dus gezien wordt als 13. er zijn dan twee mogelijkheden:Ik heb geen idee wat het geval zal zijn...

Hopelijk helpt dit om een aanpak te vinden voor jouw vraag.

GHvD
23-3-2019


© 2001-2020 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#87790 - Telproblemen - 3de graad ASO