WisFaq!

Re: Re: Re: Differentiaalvergelijking

Ik begrijp dat dit kan voor elke k apart, maar niet voor k in één keer.

Nu heb ik dat gedaan voor k=1, k=2, k=3 en k=4 en vind de volgende uitdrukkingen voor F[k=i](t) en f[k=i](t) met i = 1, 2, 3 en 4:


F[k=1](t):=-exp(-lambda*t)*lambda*t-exp(-lambda*t)+1;
f[k=1](t):=lambda^2*exp(-lambda*t)*t;
F[k=2](t):=(-lambda^2*t^2+exp((lambda*t*(lambda*t+2))/(lambda*t+1))-2*lambda*t-1)*exp(-(lambda*t*(lambda*t+2))/(lambda*t+1));
f[k=2](t):=t^2*lambda^3*exp(-lambda*t*(lambda*t+2)/(lambda*t+1));
F[k=3](t):=-exp(-1/2*(lambda*t*(2*lambda^2*t^2+9*lambda*t+6))/((lambda*t+1)^2))*lambda^3*t^3-3*exp(-1/2*(lambda*t*(2*lambda^2*t^2+9*lambda*t+6))/((lambda*t+1)^2))*lambda^2*t^2-3*exp(-1/2*(lambda*t*(2*lambda^2*t^2+9*lambda*t+6))/((lambda*t+1)^2))*lambda*t-exp(-1/2*(lambda*t*(2*lambda^2*t^2+9*lambda*t+6))/((lambda*t+1)^2))+1;
f[k=3](t):=exp(-(1/2)*lambda*t*(2*lambda^2*t^2+9*lambda*t+6)/(lambda*t+1)^2)*lambda^4*t^3;
F[k=4](t):=(exp(1/3*(t*(3*lambda^3*t^3+22*lambda^2*t^2+30*lambda*t+12)*lambda)/((lambda*t+1)^3))-lambda^4*t^4-4*lambda^3*t^3-6*lambda^2*t^2-4*lambda*t-1)*exp(-1/3*(t*(3*lambda^3*t^3+22*lambda^2*t^2+30*lambda*t+12)*lambda)/((lambda*t+1)^3));
F[k=4](t):=t^4*lambda^5*exp(-(1/3)*t*(3*lambda^3*t^3+22*lambda^2*t^2+30*lambda*t+12)*lambda/(lambda*t+1)^3);


en ik vroeg me af of er een regelmaat zit in de overgangen van f[k=1](t) naar f[k=2](t) naar f[k=3](t) en naar f[k=4](t) zodat ik tenslotte een uitdrukking kan vinden voor f[k](t).

Ad van der Ven
19-3-2019

Antwoord

De DV is er een met gescheiden variabelen ($t$ en $F$). Zoals al eerder opgemerkt als $k$ een natuurlijk getal is dan kunnen we de vergelijking ook schrijven als
$$
\lambda\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}(-1)^j(\lambda t+1)^{-j} = \frac{F'(t)}{1-F(t)}
$$De DV los je op door links en rechts te primitiveren en dat is nu makkelijk (even oppassen bij $j=0$ en $j=1$):
$$
-\ln\bigl(1-F(t)\bigr) =
\lambda t -k\ln(\lambda t+1)+\sum_{j=2}^k\frac{(-1)^j}{-j+1}\binom{k}{j}(\lambda t+1)^{-j+1} +C
$$Door links en rechts de $e$-macht te nemen kun je $F(t)$ vrijmaken maar ik vraag me af of dat de moeite waard is.

kphart
19-3-2019