WisFaq!

Integreren met sinus en cosinus in een functie

Beste,

Ik ben gestrand midden in een opdracht bij de volgende stap: Het primitieveren van de integraal van 0 tot pi, met de formule (31/5)cos²(\phi)sin²(\phi) naar d\phi.

Ik denk dat je integreren dmv substitutie moet gebruiken. Dit heb ik ook geprobeerd maar heb waarschijnlijk het verkeerde gelijk gesteld aan u. Enig idee?

Met vriendelijke groet,
Rick

Rick
20-2-2019

Antwoord

Daarvoor heb je enkele goniometrische formules (dubbele hoek identiteiten) nodig. Dat gaat zo:

\begin{align} \int \frac{31}{5}\cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi &= \frac{31}{20}\int 4\cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi\\ &= \frac{31}{20}\int (2\cos(\phi)\sin(\phi))^2 d\phi\\ &= \frac{31}{20}\int \sin^2(2\phi) d\phi\\ &= \frac{31}{20}\int \frac{1-\cos(4\phi)}{2} d\phi\\ &= \frac{31}{20}(\int \frac{1}{2} d\phi-\int \frac{\cos(4\phi)}{2} d\phi) \\ \end{align}
Nu kun je de eerste integraal gewoon bepalen en bij de tweede de substitutie u=4\phi nemen. Zo zou je er moeten geraken. Laat maar weten als er iets niet lukt.

js2
20-2-2019