WisFaq!

Integreren met sinus en cosinus in een functie

Beste,

Ik ben gestrand midden in een opdracht bij de volgende stap: Het primitieveren van de integraal van 0 tot pi, met de formule (31/5)cos²($\phi$)sin²($\phi$) naar d$\phi$.

Ik denk dat je integreren dmv substitutie moet gebruiken. Dit heb ik ook geprobeerd maar heb waarschijnlijk het verkeerde gelijk gesteld aan u. Enig idee?

Met vriendelijke groet,
Rick

Rick
20-2-2019

Antwoord

Daarvoor heb je enkele goniometrische formules (dubbele hoek identiteiten) nodig. Dat gaat zo:

$\begin{align}
\int \frac{31}{5}\cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi &= \frac{31}{20}\int 4\cos^2(\phi)\sin^2(\phi) d\phi\\
&= \frac{31}{20}\int (2\cos(\phi)\sin(\phi))^2 d\phi\\
&= \frac{31}{20}\int \sin^2(2\phi) d\phi\\
&= \frac{31}{20}\int \frac{1-\cos(4\phi)}{2} d\phi\\
&= \frac{31}{20}(\int \frac{1}{2} d\phi-\int \frac{\cos(4\phi)}{2} d\phi) \\
\end{align} $
Nu kun je de eerste integraal gewoon bepalen en bij de tweede de substitutie $u=4\phi$ nemen. Zo zou je er moeten geraken. Laat maar weten als er iets niet lukt.

js2
20-2-2019