WisFaq!

Image en kernel van een matrix

Ik moet de volgende vergelijking bewijzen maar ik weet niet hoe ik dat moet doen:
ker A = (im A^T)^⊥
voor alle matrixen A ∈ R
^m×n

Hessel
13-1-2019

Antwoord

Als je de definities goed kent is het niet meer dan een vertaaloefening.
Als $x\in\operatorname{ker} A$ dan $Ax=0$, maar dat betekent dat $b\cdot x=0$ voor elke rij van $A$ ($\cdot$ is het inwendig product) en dus dat $b\cdot x=0$ voor elke $x\in\operatorname{im} A^T$.
Omgekeerd, als $x\in\operatorname{im} A^T$ dan volgt ihb dat $b\cdot x=0$ voor elke rij van $A$, en dus $Ax=0$.

kphart
13-1-2019