WisFaq!

Een na grootste eigenvalue vinden

Als ik α = λ/(v'v) heb, met λ als matrix A's grootste eigenvalue and v de bijbehorende eigenvector, hoe bewijs ik dat de grootste absolute eigenvalue van (A − αvv') gelijk is aan de een na grootste eigenvalue van A?

Walter Nap
31-10-2018

Antwoord

Dat zal niet gaan, tenzij je nog aanneemt dat $A$ symmetrisch is. Want dan staan eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden loodrecht op elkaar.
Voor elke vector $w$ die loodrecht staat op $v$ geldt
$$
(A-\alpha vv')w = Aw -\alpha v(v'w) = Aw
$$want $v'w=0$. Ook geldt $(A-\alpha vv')v=0$, dus $v$ is nu eigenvector van de nieuwe matrix bij eigenwaarde $0$ en de eigenvectoren die loodrecht staan op $v$ zijn eigenvectoren van de nieuwe matrix bij hun oorspronkelijke eigenwaarden.

kphart
31-10-2018