WisFaq!

Deelbaarheid

We zijn bij wiskunde bezig over het toepassen van de defenitie van deelbaarheid in $\mathbf{Z}$. Er is een oefening die ik zelf niet kon oplossen. De opdracht is:

Als 11 een deler is van de som van a en b (11|a+b) en a en b behoren tot $\mathbf{Z}$, dan is 11 ook een deler van 100a+b (11|100a+b). Bewijs deze stelling.

Samuel
20-10-2018

Antwoord

Hallo Samuel,

Wanneer a+b deelbaar is door 11, dan kan je schrijven:

a+b = p·11

met p een geheel getal. Dan geldt ook:

a = 11p-b
100a = 1100p-100b

De vraag is of 100a+b deelbaar is door 11. Bij de 100a hierboven tellen we b op. We krijgen:

100a+b = 1100p-100b+b
100a+b = 1100p-99b
100a+b = 11(100p-9b)

Tussen haakjes staat een geheel getal, want p en b zijn beide geheel. 100a+b is dus te schrijven als:

100a+b = 11·q (q is geheel getal), dus 11 is een deler van 100a+b.

PS: een mede-beantwoorder gaf een tip voor een snellere methode:
100a + b = 99a + (a+b)
Gegeven is dat (a+b) deelbaar is door 11, 99a is ook deelbaar door 11, dus deze som is deelbaar door 11.

GHvD
20-10-2018