WisFaq!

Eerste graad DV eenvoudig?

Dag Wisfaq,
Ik heb nu de volgende DV:
√(x)(dy/dx)=e^(y+√(x)
Ik loste deze op als volgt:
dy/dx=((e^√(y).(e^WORTEL](x))/(√(x)
dy/(e^(y))= ((e^WORTEL](x)^)dx/(√x))
ln(e^y)= INT(e^x)dx)/(√(x)
y= (2)INT(e^√(x)d(√(x)
y= 2e^√(x)+C
Randvoorwaarden zijn: y(0)=0 en x$>$0
En:
0=2e⁰+c en c=-2
Oplossing: 2e
y=2e^√(x)-2
Wat is er aan deze oplossing verkeerd als ik in het antwoord lees::
y= -ln(3-2e^x)waar de randvoorwaarden dan al in verwerkt zijn.
Ik hoop dat ik Wisfaq niet te veel met mijn vragen bestook.
Maar ik reik hier een oplossing aan die blijkbaar niet juist is.
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
9-9-2018

Antwoord

Beste Rik,

Bij het integreren van het linkerlid gaat het mis, dat geeft niet ln(e^y) maar:
$$\int\frac{1}{e^y}\,\mbox{d}y=\int e^{-y}\,\mbox{d}y=-e^{-y}$$zodat:
$$-e^{-y}=2e^{\sqrt{x}}-c \iff e^{-y}=c-2e^{\sqrt{x}}\iff y=-\ln\left(c-2e^{\sqrt{x}}\right)$$en $c$ volgt met de beginvoorwaarde.

mvg,
Tom

td
9-9-2018