WisFaq!

Bewijs in driehoek ABC

Bewijs in driehoek ABC dat:

sin3A.cos(B-C)+sin3B.cos(C-A)+sin3C.cos(A-B)=0

Iemand die me op weg kan helpen?
Groetjes

Lenie
29-8-2018

Antwoord

Beste Lenie,

We gebruiken een van de omgekeerde regels van Simpson (of Mollweide):
$\sin(x)\cos(y)=\frac 12 (\sin(x-y)+\sin(x+y))$.

Zo kunnen we herschrijven:

• $\sin(3A)\cos(B-C)=\frac 12(\sin(3A+B-C)+\sin(3A-B+C))$;
  
• $\sin(3B)\cos(C-A)=\frac 12(\sin(3B+C-A)+\sin(3B-C+A))$;
  
• $\sin(3C)\cos(A-B)=\frac 12(\sin(3C+A-B)+\sin(3C-A+B))$.
  

Merk nu op dat $(3A+B-C) + (3C-A+B) = 2(A+B+C) = 2\pi$. Dus $\sin(3A+B-C)=-\sin(3C-A+B)$.

Met twee vergelijkbare argumenten kun je ook laten zien dat $\sin(3B+C-A)=-\sin(3A-B+C)$ en $\sin(3C+A-B)=-\sin(3B-C+A)$. Met toepassing van die drie constateringen moet je je bewijs snel kunnen vinden.

Met vriendelijke groet,

FvL
30-8-2018