WisFaq!

Bewijs met complexe getallen

Beste
Ik weet totaal niet hoe ik aan de volgende oefening moet beginnen:

geg: P, Q en R zijn de beeldpunten van de complexe getallen a, b en c.
T.B.:
1) driehoek PQR is gelijkbenig en rechthoekig in R Û a²+b²+2c²-2ac-2bc=0
2) driehoek PQR is gelijkzijdig Û a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

Ik zou niet weten hoe ik hieraan moet beginnen, want we hebben zo geen gelijkaardige oefening in onze cursus gemaakt. Iemand die me op weg kan helpen?

Valerie
26-8-2018

Antwoord

In beide gevallen kun je het probleem eerst terugbrengen tot een speciaal geval.
1. Hier kun je $R$ naar de oorsprong schuiven: er geldt namelijk $a^2+b^2+2c^2-2ac-2bc=(a-c)^2+(b-c)^2$; dus je kunt aannemen dat $c=0$. Nu bekijken wat het betekent voor de complexe getallen $a$ en $b$ dat $a^2=-b^2$.
2. Hier kun je iets dergelijks doen: neem het zwaartepunt $m=(a+b+c)/3$. Dan geldt $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2-(a-m)(b-m)-(a-m)(c-m)-(b-m)(c-m)$; dus kun je aannemen dat $m=0$. Als de driehoek gelijkzijdig is dan kun je schrijven $b=\omega a$ en $c=\omega^2b$ met $\omega=-\frac12+\frac12\sqrt3$. Dan kun je laten zien dat de gelijkheid geldt.
Omgekeerd: schrijf $b=\eta a$ en $c=\nu a$; uit de gelijkheid volgt $\eta\nu=1$, en dus $abc=a^3$ en evenzo $abc=b^3$ en $abc=c^3$.

kphart
26-8-2018