WisFaq!

Gebonden extrema

Ik ben aan het proberen om een examenvragen op te lossen maar met deze vraag zit ik echt vast, weet niet hoe ik er aan moet beginnen.

Natuurlijk eerst de Lagrangefunctie opschrijven maar zouden jullie me misschien op gang kunnen helpen?

Lotte
20-8-2018

Antwoord

Ik zou beginnen met $M'(c)$ uit te schrijven, via de kettingregel. Ik schrijf even $x(c)$ in plaats van $x_c^*$ en zo. En $\mathbf{x}(c)=(x(c),y(c),z(c),t(c))$.
$$
M'(c)=f_x(\mathbf{x}(c))\cdot x'(c) + f_y(\mathbf{x}(c))\cdot y'(c) + f_z(\mathbf{x}(c))\cdot z'(c) + f_t(\mathbf{x}(c))\cdot t'(c)
$$Inderdaad moet je $L$ opstellen:
$$
L(x,y,z,t,\lambda,\mu) = f(x,y,z,t)-\lambda(x+y+z+t-c) -\mu(x^2+y^2+z^2+t^2-c^2)
$$De partiële afgeleiden van $L$ zijn gelijk aan nul, in alle punten $\mathbf{x}(c)$. Dat kun je gebruiken om $f_x(\mathbf{x}(c))$, en de drie andere, uit te drukken in $\lambda(c)$, $\mu(c)$, en $x(c)$, $y(c)$, $z(c)$ en $t(c)$. Verder geldt ook $x(c)+y(c)+z(c)+t(c)=c$ en evenzo voor de kwadraten.

Als je zorgvuldig werkt kom je uit op
$$
M'(c)=\lambda(c)+2c\cdot\mu(c)
$$

kphart
20-8-2018