WisFaq!

DV en bepaling constanten A en B

Goede dag,

Voor welke waarden van de constanten A en B is de volgende DV EXACT ?
((x+A)e^xsiny +cosy))dx +(x(e^xcosy+Bsiny))dy=0

Wat is de algemene oplossing van de vergelijking als de waarden van A en B (die exactheid moeten veroorzaken), gevonden zijn.
De vergelijking is van de vorm Mdx+Ndy=0.
Partiële afgeleiden:
a) van M naar y :
xe^xcosy+Acosy+siny
b) partiële fgeleide vna N naar x:
e^xcosy +xe^xcosy+Bsiny
a) en b) gelijkstellen geeft bij wegvallen van xe^xcosy in beide leden:
Ae^xcosy+siny= e^xcosy+Bsiny
(A-1)e^xcosy=(B-1)siny
En hoe moet het nu verder?
Ik probeer nog (d voor ronde d natuurlijk want ik kan dit symbool niet genereren )volgende formulke om toch aan exactheid te komen maar dat lukt mij niet.

(dM/dy-DN/dx)/N=
=((Ae^xcosy+siny)-(e^xcosy+Bsiny))/(xe^xcosy+Bxsiny)

En daar kan ik niet mee verder om toch een integratiefactor te vinden..
Groetjes en bedankt voor de steeds paraat zijn voor wat hulp.. Ik hoop dat ik nu foutloos gewerkt heb.

Rik Lemmens
13-8-2018

Antwoord

De sleutel is deze vergelijking:
$$
(A-1) e^x\cos y = (B+1)\sin y
$$(NB in de afgeleide van $M$ moet $-\sin y$ staan).
Die vergelijking moet voor alle $x$ en $y$ opgaan en dat lukt alleen als $A-1$ en $B+1$ gelijk zijn aan nul.
Dus $A=1$ en $B=-1$.

kphart
13-8-2018