WisFaq!

Re: Differentiaalvergelijkingen

Bedankt voor het antwoord. Ik echter nog een aanvullende vraag. Ik zie in diverse artikelen grafieken (parametric plots) tussen S(t), I(t) met mooie bogen die verspringen met de waarde van de constante. Zie bijv http://mat.uab.cat/matmat/PDFv2013/v2013n03.pdf blz. 9

Het gekke is dat als ik S laat oplopen van 1 tot bijv 1000, ik een rechte lijn met I krijg. Ik krijg wel de juiste lijnen nadat ik S,I,R via een numerieke methode benaderd heb. Dat snap ik ook wel. Je moet eerst S(t) uitrekenen en die t.o.v. I plaatsen.

Mijn vraag. Kun je parametrische plots ook zonder de hulp van numerieke benaderingen tekenen?

Gerard de Jong
13-8-2018

Antwoord

Kijk naar het plaatje dat je zelf noemt: de $S$-as loopt daar slechts van $0$ tot $1$.
Als je in vergelijking (5) in het artikel alles behalve $I(t)$ naar rechts brengt krijg je de uitdrukking in mijn vorige antwoord (met alle constanten in $d$ gestopt, en $\log=\ln$):
$$
I = -S + c\ln S +d
$$De waarden voor $S$ die je noemt, geheel en groter dan of gelijk aan $1$, vallen buiten het bereik van Figuur 3 daar lijkt de grafiek al sterk op een rechte lijn, $I=-S+d$, omdat $\ln S$ op die schaal wegvalt tegen $-S$. Bijvoorbeeld: $\ln 1000\approx 7$ en in Figuur 3 geldt $\nu/\beta\approx1/4$ dus daar heb je $I\approx -998+d$ en dat is op die schaal niet te onderscheiden van $-1000+d$; wat jij ziet is, op een haar na, de grafiek van $I=-S+d$.
Die `mooie bogen' krijg je alleen als je $S$ beperkt tot kort interval dicht bij $0$.
Het antwoord op je laatste vraag is dus "Ja"; je kunt $I$ als functie van $S$ plotten maar je moet je plotvenster zorgvuldig kiezen.
In termen van Maple:

plot(-S+nu/beta*ln(S)+d, S=0..1, y=-0..1);

geeft een plaatje als in Figuur 3.

kphart
13-8-2018