WisFaq!

Re: Re: Schets de kromme van deze vergelijking

Ik was nog vergeten te vermelden dat d = x

dus kom ik uiteindelijk uit als functievoorschrift in functie van a,d en h dat

y= a·h(d) = (e^d + e^-d)/2

Nu vraag ik me wel af hoe ik hier de lengte van de kabel mee kan berekenen en of dit wel juist is

jonathan
9-8-2018

Antwoord

En dat kan ook niet: $d$ is een constante en $x$ is een variabele.

De functie die de kettinglijn beschrijft is
$$
f(x)= a \cosh\left(\frac xa\right)
$$het zou kunnen zijn dat die `functie $h$' een slecht gelezen/overgeschreven $\cosh$ is.
De lengte van de kettinglijn bepaal je met behulp van deze integraal
$$
\int_{-d}^d\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x
$$In dit geval heb je $f'(x)=\sinh\frac xa$ en $1+\sinh^2\frac xa=\cosh^2\frac xa$ dus krijg je
$$
\int_{-d}^d \cosh\frac xa\,\mathrm{d}x = \left[a\sinh\frac xa\right]_{-d}^d =2a\sinh\frac da
$$Nu is gegeven dat $f(d)=h$, dus $a\cosh\frac da=h$, ofwel $\cosh\frac da=\frac ha$. Dan volgt
$$
\sinh\frac da=\sqrt{\cosh^2\frac da-1}=\sqrt{\left(\frac ha\right)^2-1}
$$Zo kun je lengte in $a$, $d$ en $h$ uitdrukken.
In het expliciete geval heb je $h=60$ (hoogte), en $2\sqrt{h^2-a^2}=75$ (lengte).
Daarmee kun $a$ bepalen en dan $d$ oplossen uit
$$
a\cosh\left(\frac da\right)=60
$$

Zie Wikipedia: Catenary [https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary#Mathematical_description]

kphart
9-8-2018