WisFaq!

Diagonaliseerbaarheid matrix

opgave: zij a element van ⁺ en beschouw de matrix:

A =  0   1   0
     0   0   1
     0   a2  0

Vind alle a element van ⁺ waarvoor A diagonaliseerbaar is en alle a element van ⁺ waarvoor A niet diagonaliseerbaar is. Onderbouw je berekeningen meteen goed geargumenteerde redenering.

Mijn oplossing:

Als een (3x3)-matrix 3 verschillende eigenwaarden heeft, dan is de matrix diagonaliseerbaar

0-E   1       0
0    0-E      1
0     a2      0-E

determinant: -E((-E)² - a²)
= E³ + Ea²
= E(E² + a²)

E₁ = 0, E₂ = a en E₃ = -a

Dus a mag niet 0 zijn ( en ook niet negatief want a is een element van ⁺ dus a is element van ]0, +oneindig]

Is dit juist? Alvast bedankt voor de feedback!

Lotte
5-6-2018

Antwoord

Het klopt bijna: als $a\neq0$ dan zijn er drie verschillende eigenwaarden en is de matrix diagonaliseerbaar.
Echter: als $a=0$ dan zou de matrix ook diagonaliseerbaar kunnen zijn; de stelling die je aanroept werk maar een kant op.
Voor $a=0$ moet je dus kijken of je een basis voor $\mathbb{R}^3$ kunt maken die uit eigenvectoren bestaat.

kphart
5-6-2018