WisFaq!

Oplossingen lineaire differentievergelijking

Hallo

Ik vroeg me af of een lineaire differentievergelijking van de tweede orde altijd oneinding veel oplossingen heeft? Of kan het ook voorkomen dat deze geen/slechts één oplossing heeft? Ik zou zelf denken dat deze altijd oneindig veel oplossingen heeft maar ik ben hier niet zeker over...

Voorbeeld:

Yn+2 + 3Yn+1 - Yn = 7

De oplossingsverzameling is hier een tweedimensionale deelruimte, wat maakt dat alle LC's ook oplossingen zijn en er dus oneindig veel oplossingen zijn?

Juiste redenering?

Wisk
2-6-2018

Antwoord

Voor de bijbehorende homogene vergelijking
$$
Y_{n+2}+3Y_{n+1}-Y_n=0
$$gelden je beweringen: de oplosverzameling is een lineaire deelruimte van de ruimte van alle rijen reële getallen en hij is inderdaad tweedimensionaal.

Een basis wordt gevormd door de oplossingen $X$ en $Y$ die voldoen aan respectievelijk $\bigl(X(0),X(1)\bigr)=(1,0)$ en $\bigl(Y(0),Y(1)\bigr)=(0,1)$.

Dat levert inderdaad oneindig veel oplossingen: alle lineaire combinaties van $X$ en $Y$.

De oplossingsverzameling van het gegeven probleem is deze deelruimte maar dan opgeschoven langs een particuliere oplossing. (En dat geeft dus oneindig veel oplossingen.)

Het is als bij elk lineair probleem: de totale oplossing bestaat uit de oplossing van het homogene probleem opgeteld bij een particuliere oplossing.

kphart
6-6-2018