WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 25 juni 2021

Oplossingen lineaire differentievergelijking

Hallo

Ik vroeg me af of een lineaire differentievergelijking van de tweede orde altijd oneinding veel oplossingen heeft? Of kan het ook voorkomen dat deze geen/slechts ťťn oplossing heeft? Ik zou zelf denken dat deze altijd oneindig veel oplossingen heeft maar ik ben hier niet zeker over...

Voorbeeld:

Yn+2 + 3Yn+1 - Yn = 7

De oplossingsverzameling is hier een tweedimensionale deelruimte, wat maakt dat alle LC's ook oplossingen zijn en er dus oneindig veel oplossingen zijn?

Juiste redenering?

Wisk
2-6-2018

Antwoord

Voor de bijbehorende homogene vergelijking
$$
Y_{n+2}+3Y_{n+1}-Y_n=0
$$gelden je beweringen: de oplosverzameling is een lineaire deelruimte van de ruimte van alle rijen reŽle getallen en hij is inderdaad tweedimensionaal.

Een basis wordt gevormd door de oplossingen $X$ en $Y$ die voldoen aan respectievelijk $\bigl(X(0),X(1)\bigr)=(1,0)$ en $\bigl(Y(0),Y(1)\bigr)=(0,1)$.

Dat levert inderdaad oneindig veel oplossingen: alle lineaire combinaties van $X$ en $Y$.

De oplossingsverzameling van het gegeven probleem is deze deelruimte maar dan opgeschoven langs een particuliere oplossing. (En dat geeft dus oneindig veel oplossingen.)

Het is als bij elk lineair probleem: de totale oplossing bestaat uit de oplossing van het homogene probleem opgeteld bij een particuliere oplossing.

kphart
6-6-2018


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#86336 - Lineaire algebra - Student universiteit BelgiŽ