WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 28 maart 2024

Re: Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs

Hartelijk dank voor het antwoord en ook voor de tip. Dus bij deze: wat is het algemene principe van deze aanpak?

John Bruggeling
1-6-2018

Antwoord

Goede vraag!

Je wilt aantonen dat:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right)
$

Als je die termen uitschrijft krijg je:

$
\eqalign{\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

De kunst is nu om alle termen aan de rechter kant te schrijven als:

$
\eqalign{\frac{{...}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$

Het is (als het ware) gelijknamig maken! Daarna kan je de termen rechts optellen en kijken wat er bij de teller moet staan...

Naschrift
Maar misschien is in de driehoek van Pascal kijken wel zo handig:

$
\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 1} \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 1} \\
k \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$

Gebruik daarbij de volgende eigenschap:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1} \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1} \\
k \\
\end{array}} \right)
$

WvR
1-6-2018


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#86334 - Telproblemen - Student universiteit