WisFaq!

Hoe bereken ik de vergelijking van de beeldfiguur?

Geachte heer,

Hoe bereken ik de vergelijking van de beeldfiguur?
Een cirkel c met vergelijking x₁² + x₂² = 16.
A is een afbeelding met matrix

 1   1/2√2
-1   1/2√2

Mijn probleem is dat ik van enkele punten van de cirkel de beeldpunten heb berekend, maar niet verder kom om de vergelijking van de beeldfiguur te bepalen.

Bij voorbaat dank ik u hartelijk voor uw medewerking,
Radjan.

Radjan
2-2-2018

Antwoord

Twee mogelijkheden:
1. parametriseer de cirkel met $x_1=4\cot t$ en $x_2=4\sin t$ en reken dan $\mathbf{u}=A\mathbf{x}$ uit: $u_1=4\cos t+2\sqrt2\sin t$ en $u_2=-4\cos t+2\sqrt2\sin t$. Met wat proberen kom je er achter dat $3u_1^2+2u_1u_2+3u_2^2=64$.
2. Schrijf weer $\mathbf{u}=A\mathbf{x}$ maar druk dan $x_1$ en $x_2$ uit in $u_1$ en $u_2$: je krijgt $x_1=(u_1-u_2)/2$ en $x_2=(u_1+u_2)/\sqrt2$. Vul die twee dan in in $x_1^2+x_2^2=16$.

Overigens is mij niet duidelijk waarom $x_1$ vervangen wordt door $\sqrt{16-x_2^2}$ en, omgekeerd, $x_2$ door $\sqrt{16-x_1^2}$; dat maakt alle uitdrukkingen alleen maar ingewikkelder. Ik zou slechts één van die vervangingen doen, dan krijg je iets als $u_1=x_1+\frac12\sqrt2\sqrt{16-x_1^2}$ en $u_2=-x_1+\frac12\sqrt2\sqrt{16-x_1^2}$, dat heeft het voordeel dat alles van één parameter, namelijk $x_1$, afhangt.

kphart
2-2-2018