WisFaq!

Binomiale verdeling met smarties

Uit een bokaal met 100 Smarties haalt Jorre er 10 uit. 20% van de Smarties zijn rood.

1. Jorre legt de Smartie na elke trekking terug. Hoe groot is de kans dat hij juist 1 rode neemt? (0,2684)
2. Herhaal vraag a), maar nu voor een bokaal met 1000 Smarties. (0,2684)
3. Jorre eet de Smartie na elke trekking op. Hoe groot is de kans dat hij exact 1 rode neemt? (0,2679)
4. Herhaal vraag c), maar nu voor een bokaal met 1000 Smarties. (0,2684)

Bij vraag a) heb ik het volgende:

1. Binompdf (10; 0,2; 1) =0,2684

Ik weet niet hoe ik de rest moet aanpakken, kan iemand helpen?
Alvast dank

Peter
18-12-2017

Antwoord

Hallo Peter,

Zolang je nog niet precies begrijpt wat jouw rekenmachine voor jou doet wanneer je de functie Binompdf gebruikt, is het verstandig om zo'n berekening met de hand te doen. Gebruik de functie pas wanneer je goed begrijpt wat hierachter zit.

Eerst maar eens vraag a)
We gaan de vraag eerst iets makkelijker maken: "Hoe groot is de kans dat Jorre eerst 1 rode neemt, en daarna 9 keer een andere kleur. We kunnen het rijtje smarties dan zo weergeven:

R A A A A A A A A A

(R betekent: rode smartie gepakt, A betekent andere kleur gepakt).

Uitwerking:

• De kans dat de eerste smartie rood is, is 0,2 (want 20% is rood)
  
• De kans dat de tweede smartie anders is, is 0,8 (want 80% is anders)
  De kans dat dit allebei gebeurt, is 0,2·0,8
  
• De kans dat de derde smartie anders is, is weer 0,8.
  De kans op R A A is dan 0,2·0,8·0,8, dus 0,2·0,8²
  
• De kans dat de volgende smartie anders is, is weer 0,8.
  De kans op R A A A is dan 0,2·0,8³
  
• enz. enz. Zo gaan we door, uiteindelijk komen we op:
  De kans op R A A A A A A A A A is 0,2·0,8⁹

Nu moeten we bedenken dat de rode smartie niet op de eerste plaats hoeft te staan. Deze volgende volgorde mag ook:

A A A R A A A A A A

En deze mag ook:

A A A A A A A A R A

Evenals alle andere mogelijke volgordes. De kans op elke willekeurige volgorde is hetzelfde. Om de kans te berekenen op 1 smartie op een willekeurige plaats, moeten we de kans op onze vaste volgorde vermenigvuldigen met het aantal mogelijke volgordes. Het aantal volgordes is het aantal manieren waarop we één R over 10 plaatsen kunnen verdelen, dus het aantal combinaties van 1 uit 10:



Zo vinden we als berekening van de kans:



Ga voor jezelf na dat je op dezelfde manier de kans kunt berekenen op precies 3 keer een rode smartie:



Nu vraag b)
Volg dezelfde redenering, je zult zien dat het helemaal niet uitmaakt of je 100 smarties neemt of 1000. In de hele uitwerking komt het aantal smarties niet voor!

Oh ja: als je dit goed begrijpt, dan kan je dit ook met binompdf berekenen:
binompdf(10 , 0.2 , 1) betekent:

• n=10 keer kansexperiment uitvoeren (=smartie pakken),
  
• kans op succes: p=0,2 (kans dat je een rode pakt),
  
• aantal keer dat je succes wilt: k=1 (je wilt 1 keer een rode).

Binompdf geeft je de kans op deze uitkomst.

Dan vraag c)
Het verschil is dat de smartie niet wordt teruggelegd. Het begin is hetzelfde als bij vraag a). We gaan eerst zelf een vaste volgorde kiezen:

R A A A A A A A A A

• De kans dat de eerste smartie rood is, is 20/100 (net als bij vraag a).
  
• Let op: de kans dat de tweede smartie anders is, is 80/99 (en niet 80/100, want we leggen niet terug!)
  
• De kans dat de derde smartie anders is, is 79/98
  
• De kans dat de vierde smartie anders is, is 78/97
  
• enz. enz. Zo gaan we door, uiteindelijk komen we op:
  De kans op R A A A A A A A A is ²⁰/₁₀₀·⁸⁰/₉₉·⁷⁹/₉₈·⁷⁸/₉₇· ... ·⁷²/₉₁

Om dezelfde reden als bij vraag a moeten we nog vermenigvuldigen met het aantal mogelijke volgordes. We vinden dus als kans op 1 keer rood op een willekeurige plaats:



Als het goed is, kan je vraag d) nu zelf aanpakken. Kom je er niet uit, dan nog maar eens vragen.

GHvD
18-12-2017