WisFaq!

Bewijs recurrente betrekking

Hallo,

Voor een recurrente betrekking
u_(n) = a · u_(n-1) + b geldt:

u_(n) = b/(1-a) + aⁿ · (u₍₀₎ - b/(1-a))

Ik kom er alleen op geen enkele manier achter waarom dit zo is.

Jeroen
21-11-2017

Antwoord

Hallo, Jeroen.

Begin met n=1, daarna n=2, n=3, etc.
Dus:

u₍₁₎ = a·u₍₀₎ + b,

u₍₂₎ = a·u₍₁₎ + b = a·(a·u₍₀₎ + b) + b
= a²u₍₀₎ + b·(a+1),

u₍₃₎ = a·u₍₂₎ + b =
a·(a²u₍₀₎ + b·(a+1)) + b = a³u₀ + b·(1+a+a²), etc.

Nu kun je al zien dat het die formule wordt, want
1+a+a²+..+a^n-1 = (1-aⁿ)/(1-a).
Je kunt de formule desgewenst bewijzen met volledige inductie.

hr
21-11-2017