WisFaq!

Integraal oplossen

Ik heb de volgende integraal (in Maple notatie):

Int((M-y)^(v)·(y+x)^(u),y=0..M)

met 0$<$u, 0$<$v, 0$<$y,y$<$M, 0$<$x

Kunt U de integraal voor mij oplossen?

Ik kan de integraal wel numeriek oplossen. Voor bijvoorbeeld

M:=7;u:=3;v:=2;x:=0.8;

krijg je

Int((M-y)^(v)·(y+x)^(u),y=0..M) = 3748.075333

Het gaat me echter om een analytische oplossing.

Ad van der Ven
29-9-2017

Antwoord

Alleen in speciale gevallen is hier iets mee te doen. Noem de integraal even $I(u,v)$.
Met partiële integratie kun je laten zien dat
$$
I(u,v)=-\frac{M^ux^{v+1}}{v+1}+\frac{u}{v+1}I(u-1,v+1)
$$
en ook
$$
I(u,v)=\frac{M^{u+1}x^v}{u+1}+\frac{v}{u+1}I(u+1,v-1)
$$
Hiermee kan je een formule opstellen in het geval dat $u$ of $v$ een natuurlijk getal is. In het antwoord zit wel enige regelmaat, maar niet veel.
In het algemene geval kun je Maple wel iets laten doen: door

assume(x, positive, M, positive,u, positive, v, positive);

in te voeren en dan de integraal te evalueren komt er een formule, in termen van de hypergeometrische functie $\vphantom{F}_2F_1$ en de Gammafunctie.

kphart
6-10-2017