WisFaq!

Integralen

Hoe begin ik aan de integraal van (x-2)² in de teller en in de noemer √(4x-x²)⁵. Ik dacht aan de substitutie 4x-x² = t maar dan zit ik het kwadraat in de teller.

• Gemengde opgaven

Arne Delafaille
14-8-2017

Antwoord

Hallo, Arne!

4x-x² = 4-(x-2)².

Aangezien er standaardintegralen bestaan waar √(1-t²) in voorkomt, is het handig hiervan te maken 4(1-((x-2)/2)²).

Dus substitueer t = (x-2)/2. De integrand wordt dan
¹/₈t²/(1-t²)^5/2.
Gebruik nu in de teller t² = t² - 1 + 1.

Dan zie je dat je een recurrente betrekking moet afleiden voor de integraal
I_n van (1-t²)^-n/2.
Met partieel integreren komt er
I_n = t(1-t²)^-n/2 + nI_n - nI_n+2.
Kun je het nu verder zelf?

hr
15-8-2017