WisFaq!

Re: Hoe vind ik de helling van een lijn die een vlak in twee gelijke stukken de

Bedankt voor het geven van de aanpak. Ik heb een schets gemaakt. Ik heb geconcludeerd dat er voor de oppervlakte van het gebied geïntegreerd moet worden tussen 0 en ¹/₆$\pi$. Ik heb berekend dat de oppervlakte van het ingesloten gebied exact gelijk is aan ²/₉$\pi$ - ¹/₃³, dus de oppervlakte van één zo'n stuk is ¹/₉$\pi$ - ¹/₆³. Vervolgens: 'Druk nu de oppervlakten van beide stukken uit in p en x_p', hier snap ik dus niets van. Ik weet niet wat ik me hierbij moet voorstellen, zou u wellicht deze stap kunnen voordoen? Waarschijnlijk kan ik de stappen die erna komen dan wel doen.
Alvast bedankt.

Mario
6-6-2017

Antwoord

Hallo, Mario.
De oppervlakte van het hele gebied is 2$\pi$/9 - 1/√3. Je maakte hier een rekenfout, en ook nog een bij het halveren hierboven in je reactie.
Heb je ook de lijn door (0,1/3) met richtingscoëfficiënt -p getekend die het gebied op het oog in twee gelijke stukken deelt?
Als het snijpunt van die lijn met de grafiek van y = tan²(x) coördinaten (x_p,y_p) heeft, dan geldt dus ¹/₃ - px_p = tan²(x_p).
De oppervlakte van het onderste stuk krijg je door ¹/₃ - px -tan²(x) te integreren van 0 tot x_p. Je vindt dan 4x_p/3 - px_p²/2 - tan(x_p), dus dat is de oppervlakte uitgedrukt in p en x_p.
Zo kun je ook de oppervlakte van het bovenste stuk berekenen door ¹/₃ - (¹/₃ - px) te integeren van 0 tot x_p en ¹/₃ - tan²(x) van x_p tot $\pi$/6.
Wanneer je deze twee oppervlakten aan elkaar gelijk stelt, of de oppervlakte van het onderste stuk gelijk aan de helft van de oppervlakte van het hele gebied, en gebruikt dat px_p gelijk is aan ¹/₃ - tan²(x_p), vind je uiteindelijk 7x_p/3 + x_ptan²(x_p) - 2tan(x_p) = 2$\pi$/9 - 1/√(3).
Reken dit alles na!
We kunnen deze laatste vergelijking numeriek oplossen, dan krijgen we x_p = 0.3239.. en p = 0.68114..

hr
7-6-2017