WisFaq!

Differentiaalvergelijking van de tweede orde

Ik heb volgende differentiaalvergelijking van de tweede orde
x.y" = y' ln (y'/x)
Zou u mij op weg kunnen helpen?

Arne Delafaille
22-5-2017

Antwoord

Dit gaat in twee stappen: Noem $y'$ voorlopig even $z$. Dan staat er
$$
x\cdot z' = z\cdot \ln\left(\frac zx\right)
$$
dat is een eerste-orde DV, die los je eerst op en dan primitiveer je $z$ om $y$ te vinden. Herschrijf de DV een beetje:
$$
z'=\frac zx\cdot \ln\left(\frac zx\right)
$$
Dit is een zogeheten homogene differentiaalvergelijking, wat betekent dat het rechterlid een funxtie van $z/x$ is.

Zoiets pak je aan door $z/x$ even $v$ te noemen. zodat $z=x\cdot v$. Als je dit invult krijg je een DV voor $v$ en $x$ waarin je de variabelen kunt scheiden en die redelijk eenvoudig is op te lossen.

Uit $v$ maak je dan $z$ en uit $z$ maak je dan weer $y$.

kphart
22-5-2017