WisFaq!

Minimumprobleem

Ik heb twee vergelijkingen:

x = 4·b+c

en

y = sqrt(16/3·b²+c²)

met 0$<$b en 0$<$c. Voor allerhande waarden van b en c bereken ik telkens de waarden van x en y en vervolgens maak een grafiek van y tegen x, dus y op de y-as en x op de x-as. Nu blijkt dat in de grafiek altijd y $>$ ¹/₂·x of te wel altijd y/x $>$ ¹/₂.

Mijn vraag is nu: hoe kun je dat algebraïsch aantonen?

Ad van der Ven
4-4-2017

Antwoord

Met behulp van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, toegepast op de vectoren $\mathbf{x}=(\frac4{\sqrt3}b,c)$ en $\mathbf{y}=(\sqrt3,1)$:
$$
4b+c=\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}\le\|\mathbf{x}\|\cdot\|\mathbf{y}\|=\sqrt{\frac{16}{3}b^2+c^2}\cdot\sqrt{3+1}
$$Verder geldt gelijkheid precies dan als de vectoren veelvouden van elkaar zijn; in dit geval betekent dat dat $c\sqrt3=\frac4{\sqrt3}b$ of $3c=4b$. Bij invullen levert dit $x=4b+c=4c$ en $y=\sqrt{3c^2+c^2}=2c$; dus $y=\frac12x$ kan voorkomen (als $b=3$ en $c=4$ bijvoorbeeld).

Zie Pythagoras: Ongelijkheid van Cauchy en Schwarz [http://fa.its.tudelft.nl/~hart/37/stukjes-pythagoras/jg54/2015-01-cauchy-schwarz.pdf]

kphart
4-4-2017