WisFaq!

Convergentie of niet?

Is de reeks \eqalign{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {2n} \right)!}} {{\left( {n!} \right)^2 }}}} convergent of divergent? Graag met bewijs.

Willem van Ravenstein
14-3-2017

Antwoord

Hallo Willem,

Laten we de breuk \eqalign{\frac{(2n)!}{(n!)^2}} eens nader onder de loep nemen:

Als n>2 dan:

\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)\cdot(n+2)\cdot\dots\cdot(2n)}{n!} = \frac{n+1}1 \cdot \frac{n+2}2 \cdot\dots\cdot\frac{2n}n

Merk nu op dat voor elke m met n>m>1 geldt dat:

\frac{n+1}1 > \frac{n+m}m > \frac{2n}n = 2

Dus (voor n>1)

\frac{(2n)!}{(n!)^2}>2^n

Daarmee zou je er uit moeten kunnen komen!

Met vriendelijke groet,

FvL
14-3-2017