WisFaq!

Afgeleide van een vierkantswortel onder de breuk

Geachte,

Ik zou graag een uitwerking met de verschillende stappen bekomen bij het uitwerken van de volgende afgeleide.

x/((225+x²)¹/₂)

Ik weet dat de uitkomst = 225/((225+x²)³/₂)
Maar ik geraak niet aan dit antwoord en zou graag zien waar mijn fout zit.

Alvast bedankt voor de moeite !
Mvg

Arne Coppens
21-1-2017

Antwoord

Je kunt twee dingen doen:
$$
\frac{x}{\sqrt{225+x^2}}
$$differentiëren volgens de quotiëntregel, of de breuk schrijven als
$$
x\cdot(225+x^2)^{-\frac12}
$$en de productregel gebruiken.
In beide gevallen moet je bij de wortelvorm de kettingregel even gebruiken:
$$
\bigl(\sqrt{225+x^2}\bigr)' = \frac12(225+x^2)^{-\frac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{225+x^2}}
$$of
$$
\bigl((225+x^2)^{-\frac12}\bigr)' = -\frac12(225+x^2)^{-\frac32}\cdot2x = -\frac{x}{(225+x^2)^{\frac32}}
$$In beide gevallen krijg je te maken met een verschil dat je nog moet uitwerken; in het eerste geval in de teller van het resultaat van de quotiëntregel:
$$
\sqrt{225+x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{225+x^2}}
$$vermenigvuldig in de eerste term de teller en noemer met $\sqrt{225+x^2}$, dan gaat het aftrekken makkelijk.

kphart
21-1-2017