WisFaq!

Integraal met een wortel in de noemer

Beste,
Ik zit al een enige tijd vast met het volgende integraal:
integraal van: u/(√(u²+5))
Het uiteindelijke oplossing moet √(u²+5) zijn.

hassy
2-1-2017

Antwoord

Misschien herken je de afgeleide van de wortelfunctie in je functievoorschrift. Althans de noemer doet wel denken aan:

$
\eqalign{f(x) = \sqrt x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}
{{2\sqrt x }}}
$

Dat betekent meestal dat de substitutiemethode wel 's heel handig zou kunnen zijn.

Dat wordt dan:

$
\eqalign{\int {\frac{u}
{{\sqrt {u^2 + 5} }}} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot 2u} \,du}
$

Nu is die $2u$ precies de afgeleide van het deel onder het wortelteken:

$
\eqalign{\int {\frac{u}
{{\sqrt {u^2 + 5} }}} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot 2u} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot d(u^2 + 5)} \,}
$

Substitueer nu $u^2+5$ door $t$ en je bent er al bijna.
Zou dat lukken? Anders maar even vragen!

WvR
2-1-2017