WisFaq!

Bewijs dat er een basis bestaat

Zij V de deelruimte van die bestaat uit alle rijen (x₀x₁...) van reële getallen die voldoen aan de betrekking x_n+2=x_n+1+x_n voor alle n$\ge$0.
Nu moet ik bewijzen dat V precies twee vectoren van de vorm (1,a,a²,...) bevat en dat die een basis vormen van V. Ik ben al bijna een week aan het nadenken en puzzelen over deze vraag, maar ik weet niet eens waar ik zou moeten beginnen.

Danique
14-12-2016

Antwoord

Ten eerste: je kunt de mogelijke $a$s proberen op te sporen door invullen. Kun je $a$s vinden zo dat de rij $(1,a,a^2,a^3,\ldots)$ aan de eis voldoet, dat wil zeggen dat
$$
a^{n+2}=a^{n+1}+a_n
$$voor alle $n$? (Je zult er twee vinden die ongelijk zijn aan $0$.)
Ten tweede, in het onderstaande antwoord wordt bewezen dat $V$ tweedimensionaal is.

Zie Vraag 83453 [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=83453]

kphart
14-12-2016