WisFaq!

Integreren

Hallo wisfaq,

Ik wil graag de volgende integraal berekenen:

I=INT[(tan(x))⁵]dx

Ik heb dit op een vrij ingewikkelde manier opgelost, door gebruikt te maken van trigonometrische reductie, zodat ik I kan schrijven als tan(x)⁴/4-INT[tan(x)³]. Dan maak ik gebruik van tan²x=sec²-1....Ik krijg de juiste antwoord maar dit is vrij ingewikkeld en omslachtig!

Volgens mij kan dit ook opgelost worden door gebruik te maken van een handige substitutie maar ik zie niet hoe ik dat precies kan doen.

Groeten,

Viky

• Integreren

viky
8-12-2016

Antwoord

Beste Viky,

Ook in het begin kan je tan²x afsplitsen en vervangen door sec²x-1; aan de hand van substitutie kan je die eerste stap zo zelf zetten zonder te moeten steunen op reductieformules:
$$\int (\sec^2x -1)\tan^3 \,\mbox{d}x
= \int \sec^2x \tan^3 \,\mbox{d}x-\int \tan^3 \,\mbox{d}x$$De substitutie $u = \tan x$ in de eerste integraal geeft je al het stuk $\tfrac{1}{4}\tan^4 x$. Verder:
$$\int \tan^3 \,\mbox{d}x = \int (\sec^2x -1)\tan x \,\mbox{d}x
= \int \frac{1-\cos^2x}{\cos^3x}\sin x \,\mbox{d}x$$en stel $t = \cos x$.

mvg,
Tom

td
8-12-2016