1. Ontbind $x^4+1$ en $x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$ in lineaire factoren:
$$
x^4+1 = (x-e^{\frac\pi4i})(x-e^{-\frac\pi4i})(x-e^{\frac34\pi i})(x-e^{-\frac34\pi i})
$$
en
$$
x^4-x^3+x^2-x+1=(x-e^{\frac\pi5i})(x-e^{-\frac\pi5i})(x-e^{\frac35\pi i})(x-e^{-\frac35\pi i})
$$
2. Je kunt dit gebruiken om je breuk in negen eenvoudige termen van de vorm $A/(x-a)$ te splitsen en dan elke term te primitiveren; dat vergt nogal wat rekenwerk met complexe getallen. Het is dan nogal een werk om het antwoord dan weer reëel te maken.
3. Je kunt ook complex toegevoegde factoren weer vermenigvuldigen, dan komt er
$$
x^4+1 = (x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)
$$
en
$$
x^4-x^3+x^2-x+1=\left(x^2-2x\cos\frac\pi5+1\right)\left(x^2-2x\cos\frac35\pi+1\right)
$$
(er geldt $\cos\frac\pi5=\frac14+\frac14\sqrt5$ en $\cos\frac35\pi=\frac14-\frac14\sqrt5$).
Nu kun je gaan splitsen in vijf termen: $A/(x+1)$ en termen van de vorm $(Ax+B)/(x^2+ax+1)$. Ook dat is veel werk en dan krijg je een paar logaritmen en arctangensen in je primitieve.
Hier is het antwoord van Maple:
Zie Antwoord van Wolfram Alpha [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F((x%5E4%2B1)(x%5E5%2B1))]
kphart
29-11-2016