WisFaq!

Integraaltest

Hoi,

Ik vroeg me af hoe het zit met de integraaltest voor het nagaan van de convergentie/divergentie van een reeks.

Op Integral Test kom ik heel wat info tegen, maar ik vroeg me af waarom men bij 1/x (divergent) de balken boven de grafiek plaatst, terwijl men deze voor 1/x² (convergent) net onder de grafiek plaatst.

Kunnen de balken bij voorbeeld 1 ook onder de grafiek getekend worden en bij voorbeeld 2 boven de grafiek?

Alvast bedankt!

L
21-11-2016

Antwoord

De uitleg staat er bij: door bij $1/x$ de blokjes boven de grafiek te nemen ontdek je dat
$$
\int_1^n\frac1x\,\mathrm{d}x \le \sum_{i=1}^{n-1}\frac1i
$$en dankzij de blokjes onder de grafiek van $1/x^2$ zie je dat
$$
\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}\le 1+\int_1^n\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x
$$en die ongelijkheden gebruik je bij de bewijzen van respectievelijk divergentie en convergentie.

kphart
22-11-2016