WisFaq!

Aantal manieren om objecten te verdelen

Hallo

Ik ben enkele oefeningen aan het maken en kwam de volgende oefening tegen op internet: Find the number of ways to distribute 10 students into lab partners.

Het antwoord zou 10!/(2⁵·5!) = 945 zijn, maar hoe komen ze hier aan? Met uitschrijven kom ik uit op 45.

Lau
26-10-2016

Antwoord

Hallo Lau,

Laten we de studenten met een letter aangeven: A t/m J. We moeten 5 duo's vormen, schematisch geef ik dit zo weer:

.. .. .. .. ..

Op elke stip moeten we een student plaatsen. De vraag is dan: op hoeveel verschillende manieren kan je duo's van twee letters maken?

Laten we eerst de 10 studenten maar eens willekeurig over de stippen verdelen. We krijgen bijvoorbeeld:

AB CD EF GH IJ

Er zijn 10! mogelijkheden om zo'n rijtje te maken. Immers: voor de eerste stip kan je kiezen uit 10 letters, voor de volgende stip uit 9 enz.

Maar dan kan komen dezelfde duo's op verschillende plekken terug, bijvoorbeeld:

CD EF AB IJ GH

Dit zijn natuurlijk precies dezelfde duo's! We moeten dus delen door het aantal volgordes waarin je dezelfde duo's kunt plaatsen. Voor 5 duo's zijn 5! verschillende volgordes mogelijk, vandaar dat we de gevonden 10! delen door 5!.

Dan zijn we nog niet klaar. Kijk maar eens naar deze twee samenstellingen:

AB CD EF GH IJ
BA CD EF GE IJ

Bij het eerste duo zijn A en B verwisseld, maar dit levert natuurlijk hetzelfde duo op. Toch zijn dit twee mogelijkheden die apart geteld zijn, dat is niet de bedoeling. Het duo op de eerste plaats komt twee keer voor, dus we moeten het gevonden aantal mogelijkheden delen door twee. Hetzelfde voor het duo op de tweede, derde, vierde en vijfde plaats. Ons voorlopige resultaat van 10!/5! moet dus ook nog eens worden gedeeld door 2⁵. Zo komen we op een totaal aantal mogelijkheden van 10!/(2⁵·5!)

OK zo?

GHvD
26-10-2016