WisFaq!

Ligging van de parabool

Ik heb een vraag waar ik nog mee zit en ik weet niet hoe ik dit zou moeten oplossen... Ik heb morgen toets. Het gaat over 2de-graadsfuncties.

Vraag: Voor welke waarde van m ligt de top van de parabool y=x²-2mx+m²-m+2 links van de y-as en onder de x-as?

Kan iemand mij helpen? Alvast dank!

Ann Nivelle
21-10-2016

Antwoord

1.
Met $y=ax^2+bx+c$ geldt:
$a=1$
$b=-2m$
$c=m^2-m+2$

2.
Als de top van de parabool links van de y-as ligt dan moet $x_{top}\lt0$. Je weet dan $\eqalign{x_{top}=-\frac{b}{2a}\lt0}$.

$\eqalign{
& \frac{{ - ( - 2m)}}{{2 \cdot 1}} < 0 \cr
& \frac{{2m}}{2} < 0 \cr
& m < 0 \cr} $

De top van de parabool ligt links van de y-as als $m\lt0$.

3.
Als de top onder de x-as ligt dan moet de discriminant D groter dan nul zijn. Je hebt dan immers twee nulpunten en bij een dalparabool ligt de top daar tussenin en onder de x-as.

$\eqalign{
& D = {b^2} - 4ac > 0 \cr
& {( - 2m)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {{m^2} - m + 2} \right) > 0 \cr
& 4{m^2} - 4{m^2} + 4m - 8 > 0 \cr
& 4m > 8 \cr
& m > 2 \cr} $

Voor $m\gt2$ ligt de top van de parabool onder de x-as.

Dat moet het zijn. De vraagstelling suggereert dan de top links van de y-as ligt en onder de x-as. Zoals je ziet is dat niet mogelijk.

Hopelijk helpt dat.

• de ligging van een parabool ten opzichte van de x-as

Naschrift
Kwadraatafsplitsen is leuker. Schrijf je functie als:
$y=(x-m)^2-m+2$
$Top(m,-m+2)$
Top links van de y-as bij $m\lt0$ en top onder de x-as bij $-m+2\lt0$, dus bij $m\gt2$.
Klaar!:-)

WvR
21-10-2016