Dag Tom,
Hoe easy, en ik kwam er echt niet uit!! Soms kan een hint toch wonderen doen!!!
In mijn boek staat onderstaande opgave. Heeft u enig idee wat de bedoeling hiervan is?
$$f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 1+x+x^2+x^3+\cdots$$ $$\int_0^x f(t) \, dt = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}x^k = - \ln|1-x|$$"Ga dit zelf na."
Alvast dank!Lene
20-9-2016
Beste Lene,
De opgave is nogal beknopt omschreven maar ik veronderstel dat je van de gegeven machtreeks (met gekende som) moet vertrekken om de onderste gelijkheid aan te tonen.
Je hebt in je cursus misschien gezien dat je een dergelijke machtreeks, waar deze convergeert, term-per-term mag integreren. Vertrek van:
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots$$Integreren van het linkerlid levert $-\ln|1-x|$ en integreren van het rechterlid levert:
$$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}x^k$$Helpt dat?
mvg,
Tom
td
20-9-2016
#82931 - Rijen en reeksen - Leerling bovenbouw havo-vwo