WisFaq!

Differentiëren

Beste
Ik heb het volgende gegeven: y=ax³+bx²+cx+d gaat door de oorsprong en heeft buigpunt in(1,-2). De raaklijn in dit punt snijdt de x-as in het punt met absciswaarde 2.

• Bepaal de coëfficiënten a, b, c en d.

Hoe vind ik dat c=-10?
Dank u bij voorbaat
David

• Differentiëren

David
11-8-2016

Antwoord

Hallo David,

De grafiek gaat door de oorsprong, we zien dus gelijk: d=0.
Laat ik eerst de eerste en tweede afgeleide bepalen:

y = ax³+bx²+cx
y' = 3ax²+2bx+c
y''= 6ax+2b

Uit de gegevens is af te leiden:
Buigpunt in (1,-2): y_x=1=-2 en y''_x=1=0. Dit levert twee vergelijkingen:

a+b+c = -2 (1)
6a+2b = 0 (2)

Verder: de helling van de grafiek in het punt (1,-2) is 3a+2b+c, dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dit punt is ook 3a+2b+c. De vergelijking van de raaklijn l is zodoende:

l = (3a+2b+c)x + q

Deze raaklijn gaat door de punten (1,-2) en (2,0). Invullen levert twee vergelijkingen:

3a+2b+c + q = -2
en
6a+4b+2c + q = 0

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 2 en trek de onderste vergelijking hiervan af, dan vinden we q=-4. Invullen in één van deze vergelijkingen (bv. de bovenste) levert:

3a+2b+c = 2 (3)

Je hebt nu drie vergelijkingen (1), (2) en (3) met drie onbekenden: a, b en c. Oplossen van dit stelsel levert:

a=-4, b=12 en c=-10.

Lukt het hiermee?

GHvD
12-8-2016