WisFaq!

Complexe integraal

Beste meneer/mevrouw,

De vraag is om de integraal langs |z|=2 te berekenen van (z²+1)/(z²(z+1)).

Nu maak ik gebruik van de residuenstelling, maar mijn residu komt niet overeen met het juiste antwoord.

Ik vind de singuliere punten bij z=-1 en hier komt uit 2, dit klopt. maar voor z=0, om het residu hiervan te berekenen vul ik in z=0 en krijg ik: (0²+1)/(0+1) = 1 ik laat nu z² weg. De computer en de antwoorden zeggen dat het residu gelijk is aan -1 maar dit zie ik niet. Kun u mij helpen?

Koen Sieben
27-6-2016

Antwoord

Beste Koen,

Je moet even goed in je cursus kijken naar de formule(s) om residuen te berekenen. Voor het residu in $z = -1$ kom je op de juiste waarde, maar dat doe je (wellicht?) door de berekening:
$$\mbox{Res}(f,-1) =\lim_{z \to -1} (z+1)f(z) = \lim_{z \to -1}\frac{z^2+1}{z^2} = 2$$Je mag dat echter niet zomaar onthouden als "z+1" weglaten, het hoeven geen veeltermfuncties te zijn. Deze formule werkt trouwens enkel voor polen van orde 1 en jouw $f(z)$ heeft een pool van orde 2 in $z=0$. Hier kan je dus zeker niet $z^2$ gewoon 'weglaten'.

Misschien heb je deze, meer algemene formule gezien voor het residu in $z=c$ als dat een pool van orde $n$ is:
$$\mbox{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{\mbox{d}^{n-1}}{\mbox{d}z^{n-1}} \left( (z-c)^n f(z) \right)$$In het geval van $z=0$ (met $n=2$) wordt dat:
$$\mbox{Res}(f,0) = \lim_{z \to 0} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}z}\frac{z^2+1}{z+1} = \cdots = -1$$
mvg,
Tom

td
27-6-2016