WisFaq!

Algemene oplossing van de niet-gereduceerde vergelijking

hallo!

Ik zit vast om de algemene oplossing te vinden van de niet gereduceerde vergelijking: y' + ay = b, via een integrerende factor zouden we
y= Ce^(-ax) + b/a (voor a verschillend van 0 )
y= C + bx (voor a= 0) moeten vinden.

Als integrerende factor kwam ik e^-∫adx uit & dit dan integreren levert me y = -abx op.
Wat doe ik fout?

Met vriendelijke groeten

anoniem
27-5-2016

Antwoord

Beste anoniem,

Je integrerende factor is bijna goed, het minteken in de exponent moet er niet staan. Een primitieve van $a$ is $ax$ dus een geschikte integrerende factor is dan $e^{ax}$. Vermenigvuldig beide leden met deze factor en het linkerlid wordt de afgeleide van een product:
$$y'+ay = b \longrightarrow y'e^{ax}+aye^{ax} = be^{ax} \iff \left(ye^{ax}\right)' = be^{ax}$$Nu beide leden integreren:
$$ye^{ax} = \frac{b}{a}e^{ax}+C$$Deel tot slot beide leden door $e^{ax}$.

mvg,
Tom

td
27-5-2016