WisFaq!

Re: Integreren

Bedankt voor jullie reactie. Ondertussen zijn we flink aan het reken geweest.
Situatie 1 is eenvoudig:
Integraal van: b/a-a^d·c
Antwoord: (b/a-a^d·c)·L
Situatie 2 is moeilijker maar te doen:
Linker term:
Integraal van: c/(b·x+a)
Antwoord: c·log(abs(b·x+a))/b
Rechter term:
Integraal van: c·(b·x+a)^d
Antwoord: c·(b·x+a)^(d+1)/(b·(d+1))

Situatie 3
Linker term:
Integraal van: d/(c·x²+b·x+a)
Antwoord: 2·d·arctan((2·c·x+b)/sqrt(4·a·c-b²))/sqrt(4·a·c-b²)
Rechter term:
Integraal van: e·(c·x²+b·x+a)^d
Geen oplossingen volgens www.integral-calculator.com
Maar we kunnen inderdaad kijken welke waardes wel kunnen:
De waarde is: -1.3 $<$ d $<$ -1.2 met -1.25 als gemiddelde.
Antwoord voor d=-1: 2·e·arctan((2·c·x+b)/sqrt(4·a·c-b²))/sqrt(4·a·c-b²)
Antwoord voor d=-2: e·(4·c·arctan((2·c·x+b)/sqrt(4·a·c-b²))/(4·a·c-b²)^3/₂+(2·c·x+b)/((4·a·c²-b²·c)·x²+(4·a·b·c-b³)·x+4·a²·c-a·b²))
Andere waardes vinden geen oplossing zoals -4/3 of -1.2 of -1.3.
Tja wat nu?
Is er een alternatief te vinden voor de onderstaande derde dus die op deze formule lijkt?
We hadden
Oplosbaar: Integraal x=0 - x=L c₁ ( a₁ )^-1 dx – c₂ ( a₁ )^c₃ dx
Oplosbaar: Integraal x=0 - x=L c₁ (a₂ + a₃ x)^-1 dx – c₂ (a₂ + a₃ x)^c₃ dx
Niet oplosbaar: Integraal x=0 - x=L c₁ (a₄ + a₅ x + a₆ x²)^-1 dx – c₂ (a₄ + a₅ x + a₆ x²)^c₃ dx

Liselotte & Onno
16-5-2016

Antwoord

Pas op bij situatie 3, de linkerterm: er is verschil tussen
$$
\int\frac1{x^2-1}\,\mathrm{d}x =\frac12 \int\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\,\mathrm{d}x
$$en
$$
\int\frac1{x^2+1}\,\mathrm{d}x
$$Bij de rechterterm rest niet veel meer dan numeriek integreren, ben ik bang.
Maple geeft overigens bij
$$
\int\frac1{(x^2\pm1)^d}\,\mathrm{d}x
$$antwoorden in termen van hypergeometrische functies; voor veel wiskundigen zijn dat ook expliciete uitkomsten.

Zie Wikipedia: hypergeometrische functies [https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function]

kphart
17-5-2016