WisFaq!

Re: Open verzameling en veranderen van dimensie

Alvast bedankt voor het antwoord!,

Maar ik begrijp het nog niet helemaal,
Neem S = open schijf
Als je de punten in R3 beschouwd die voldoen aan {x²+y²=1 en z = 0} die behoren dus tot het codomein van S in R3, deze punten zijn dan weer randpunten van codomein van S omdat ze in hun Bol - omgeving ook punten van S bevatten of ga ik hier in de fout omdat S "infinitesimaal dun" is? dus nu ben ik een beetje verward, S heeft randpunten in R3, namelijk zichzelf zoals u zegt, maar codomein S heeft ook randpunten in R3 namelijk de punten op {x²+y²=1 en z = 0} = dus geen van beiden is open dus geen van beiden is gesloten dat kan niet? wat doe ik hier dan mis ?

alvast bedankt,
Groeten Simon

Simon
12-5-2016

Antwoord

Beste Simon,

Misschien wordt het duidelijker als we niet naar de rand, maar naar (eventuele) inwendige punten kijken.

In $\mathbb{R}^2$ zijn alle punten van de verzameling $S$ gegeven door
$$S=\left\{ (x,y) \,\vert\, x^2+y^2 \,\mbox{$<$}\, 1 \right\}$$inwendige punten omdat je rond elk punt van $S$ een open schijf kan maken die volledig binnen $S$ gelegen is.

In $\mathbb{R}^3$ is geen enkel punt van de verzameling $S$ gegeven door
$$S=\left\{ (x,y,0) \,\vert\, x^2+y^2 \,\mbox{$<$}\, 1 \right\}$$een inwendig punt omdat je rond geen enkel punt van $S$ een open bol kan maken die volledig binnen $S$ gelegen is. Elke bol met middelpunt in $S$ bevat immers punten met een strikt positieve en een strikt negatieve z-coördinaat en die behoren niet tot $S$.

mvg,
Tom

td
12-5-2016