WisFaq!

Integralen oplossen

Beste, kunnen jullie volgende integralen zo snel mogelijk oplossen?

integraal van [sin(x).cos(x)dx/(1-cos(x)] (ik denk hier met de regel van simpson sinx en cosx afzonderen)
integraal van 5dx/(x².(³√2x)) (u=3demachtswortel2x)?
integraal van (x³-1)dx/(√x-1)
integraal van x⁹.(√x⁵+3)dx
integraal van e^-6 dx/(2-e^-3x)² (u=2-e^-3x) maar dan zit ik vast.
de oplossingen zijn als volgt:
in volgorde van de opgaven:
cos(x) + ln(1-cos(x)) + C
-15/(4x(³√2x)) + C
3,5(√(x-1)⁷)+1,2(√(x-1)⁵)+2(√(x-1)³) + C
(2/25)(√(x⁵+3)⁵)-(2/5)(√(x⁵+3)³) + C
-2/(3(2-e^-3x))- ¹/₃ln(2-e^-3x) + C

alvast bedankt

Daniel

Daniel
5-4-2016

Antwoord

Beste Daniel,

Dat kunnen we wel, maar het is niet helemaal de bedoeling... We zijn namelijk geen huiswerkmachine; bekijk even onze spelregels.

Ik zet je op weg bij elke opgave. Als het niet lukt, kan je reageren en tonen wat je al gedaan hebt en waar je precies vast zit.

1) Simpson is niet nodig; stel $u = \cos x$, dan volgt $du = -\sin x \, dx$ en de integrand wordt een rationale functie van u.
Eventueel: $u = 1-\cos x$, dat is nog wat handiger.

2) Gebruik rekenregels van machten om alle exponenten samen te nemen in één grondtal x, dan is er geen substitutie meer nodig (standaardintegraal).

3) Staat de vierkantswortel enkel boven de x of over de hele noemer? Ik vermoed het tweede; stel in dat geval $u = \sqrt{x-1}$ (of kies $u = x-1$, dat werkt ook).

4) Splits $x^9 = x^5 \, x^4$ en stel $u = x^5+3$ (dus dan geldt ook $x^5 = u-3$), dan is $du = 5x^4\,dx$. Kan je zo verder?

5) Hoort er nog een x in de exponent in de teller? Je voorstel is oké, dan volgt $du = 3e^{-3x}\,dx$; splits in de teller $e^{-6x} = e^{-3x}e^{-3x}$: een van beide verdwijnt met de substitutie (naar du) en de andere kan je in functie van u schrijven (met jouw keuze van substitutie).

mvg,
Tom

td
6-4-2016