WisFaq!

Het opstellen van een drievoudige integraal

Hallo wisfaq,

Zij S een lichaam dat begrensd wordt door

z=1+x²+y² (cylinder?)

2z-x-y=0 (vlak)

en x²+y²=1 (cylinder met straal 1).

Ik wil graag een drievoudige integraal opstellen.

[I1][I2][I3]dV.

Het moeilijkste vind ik het bepalen van de grenzen.Ik zie helemaal niet wat dit object is.

Stel ik heb de volgende integraal

[I1][I2][I3]dzdydx

met a =$<$ x =$<$ b, g1(x) =$<$ y =$<$ g2(x),

h1(x,y) =$<$ z =$<$ h2(x,y)

Maar ik kan ook hebben dxdydz of dydzdx. Belangrijk is dat I1 gaat van a tot b, de middelste grens hangt af van hoogstends 1 variable, de binnenste grens hangt af van hoogstens twee variabelen.

Omdat ik het object (de vergelijkingen) niet begrijp zie ik niet hoe ik alle grenzen kan bepalen.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
9-3-2016

Antwoord

Beste Viky,

Om de grenzen goed op te stellen is het handig om te weten wat de verschillende begrenzende oppervlakken voorstellen en eventueel (indien mogelijk) zelfs een ruwe schets te maken.

Je hebt er twee goed beschreven, maar $z=1+x^2+y^2$ is geen cilinder. Het is een paraboloïde en dat kan je gemakkelijk inzien door naar niveaukrommen te kijken (stel $z$ constant en je vindt cirkels evenwijdig met het xy-vlak, stel $x$ of $y$ constant en je vindt parabolen). Die paraboloïde heeft een top (eigenlijk dal: een minimum!) in (0,0,1) en 'opent' naar boven.

Het lichaam ligt dus tussen een vlak en een paraboloïde en binnen de cilinder. Geprojecteerd in het xy-vlak bevindt het hele gebied (door binnen de cilinder te liggen) zich dus binnen de schijf $x^2+y^2 \le 1$; dat levert je alvast grenzen voor $x$ en $y$ waarbij je de volgorde kan kiezen ($x$ vast en $y$ in functie van $x$ of omgekeerd).

Voor $z$ ligt het ene begrenzende oppervlak (de paraboloïde $z=1+x^2+y^2$) steeds boven het andere (het vlak $z=(x+y)/2$), omdat:
$$1+x^2+y^2 \ge \frac{x+y}{2}$$De ondergrens is dus het vlak, de bovengrens de paraboloïde.

Als je kiest voor de volgorde dz dy dx, wordt dat:
$$\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\tfrac{x+y}{2}}^{1+x^2+y^2} \, \mbox{d}z\, \mbox{d}y\, \mbox{d}x$$Deze grenzen lenen zich ook goed tot overgang op cilindercoördinaten.

mvg,
Tom

td
9-3-2016