WisFaq!

Bewijzen met een deler

Ik heb alles geprobeerd en van alles opgezocht, maar ik kan deze vraag van wiskunde D, 6 VWO echt niet oplossen.

Vraag:
Bewijs de volgende stelling: Zij n een geheel getal zodat n$\ge$1 (n is groter of gelijk aan 1. Dan geldt:
7 | 3²ⁿ⁺¹ + 2^n-1.

Tip:
Gebruik het eerste principe van volledige inductie.

Maartje Basten
1-3-2016

Antwoord

$ \begin{array}{l} {\rm{Te}}\,\,{\rm{bewijzen:}}3^{2n + 1} + 2^{n - 1} \,\,{\rm{is}}\,\,{\rm{deelbaar}}\,\,{\rm{door}}\,\,{\rm{7}} \\ {\rm{Stap}}\,\,{\rm{1:}}\,\,{\rm{neem}}\,\,{\rm{n = 1}} \\ 3^{2 \cdot 1 + 1} + 2^{1 - 1} = 3^3 + 1 = 28\,\,{\rm{is}}\,\,{\rm{deelbaar}}\,\,{\rm{door}}\,\,{\rm{7}}{\rm{.}}\,\,{\rm{Klopt}}\,\,{\rm{voor}}\,\,{\rm{n = 1}}{\rm{.}} \\ {\rm{Stap}}\,\,{\rm{2:}}\,\,{\rm{neem}}\,\,{\rm{n + 1}} \\ 3^{2\left( {n + 1} \right) + 1} + 2^{\left( {n + 1} \right) - 1} \,\,{\rm{is}}\,\,{\rm{deelbaar}}\,\,{\rm{door}}\,\,{\rm{7}} \\ 3^{2n + 3} + 2^n \,\,{\rm{is}}\,\,{\rm{deelbaar}}\,\,{\rm{door}}\,\,{\rm{7}} \\ 9 \cdot 3^{2n + 1} + 2 \cdot 2^{n - 1} \,\,{\rm{is}}\,\,{\rm{deelbaar}}\,\,{\rm{door}}\,\,{\rm{7}} \\ 7 \cdot 3^{2n + 1} + 2 \cdot 3^{2n + 1} + 2 \cdot 2^{n - 1} \,\,{\rm{is}}\,\,{\rm{deelbaar}}\,\,{\rm{door}}\,\,{\rm{7}} \\ 7 \cdot 3^{2n + 1} + 2\left( {3^{2n + 1} + 2^{n - 1} } \right)\,\,{\rm{is}}\,\,{\rm{deelbaar}}\,\,{\rm{door}}\,\,{\rm{7}} \\ {\rm{Klopt!}} \\ \end{array} $

Zie voorbeeld 3 uitgewerkt

WvR
1-3-2016