WisFaq!

Re: Re: Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking

oke, ik kom nu dus uit op y'=dy/dx=^5*sin(x)/_(cos(x))²

en dan dit invullen in de differentiaalvergelijking.
geeft dus:

^5*sin(x)/_(cos(x))²-C*e^-ln*cos(x)*tan(x)=3e^sin(x)

Doe ik het zo goed?

groet,

niels
11-1-2016

Antwoord

Beste Niels,

Waar komt die factor 5 vandaan? Voor het homogeen deel hadden we dus als oplossing de functie $y_h = c/\cos x$. Voor een particuliere oplossing stellen we $c = c(x)$, dus we zoeken een oplossing van de volledige vergelijking van de vorm
$$y = \frac{c(x)}{\cos x}$$De afgeleide hiervan is
$$y' = \frac{c'(x)\cos x + c(x)\sin x}{\cos^2 x} = \frac{c'(x) + c(x)\tan x}{\cos x} $$Substitutie hiervan in de differentiaalvergelijking
$$y'-y \tan x = 3 e^{\sin x} $$levert
$$\frac{c'(x) + c(x)\tan x}{\cos x} - \frac{c(x)}{\cos x} \tan x = 3 e^{\sin x}$$Dit kan je sterk vereenvoudigen, het is geen toeval dat de termen in $c(x)$ wegvallen:
$$\frac{c'(x)}{\cos x} = 3 e^{\sin x}$$Dit is een scheidbare differentiaalvergelijking in $c(x)$ en de noemer $\cos x$ links komt rechts goed van pas om de integraal door substitutie uit te werken.

mvg,
Tom

td
12-1-2016