WisFaq!

Integreren van een rationale functie

integraal van (x²+2x)/(x²+4)²
eerst splits je de teller zo kan de integraal (2x)/(x²+4)² makkelijk berekend worden met substitutie maar ik krijg de integraal (x²)/(x²+4)² maar niet uitgewerkt
Ik denk dat ik al fout zit bij het splitsen in partieelbreuken.
Kan er iemand deze integraal uitwerken?

Mv
7-1-2016

Antwoord

Je kunt om bijvoorbeeld partiëel integreren:
$$
\int\frac{x^2}{(x^2+4)^2}\,\mathrm{d}x = \int x\cdot\frac{x}{(x^2+4)^2}\,\mathrm{d}x
$$
primitiveer $x/(x^2+4)$, dat wordt $-\frac12\frac1{x^2+4}$, er komt dus
$$
x\cdot-\frac{1}{2(x^2+4)}-\int-\frac1{2(x^2+4)}\,\mathrm{d}x
$$
en de laatste integraal leidt tot een arctangens.

kphart
7-1-2016