WisFaq!

Re: Re: Formule centripetale versnelling berekenen

Echt bedankt voor de uitleg, ik snap het nu helemaal.
Mijn, denk ik laatste, RE op dit onderwerp heeft te maken met limieten.

De gemiddelde snelheid (dit schrijf je als v met een streepje erboven) v_gem in het tijdsinterval ∆t, is: v_gem = ∆s/∆t. Als je ∆t de nul laat naderen (oneindig klein laat worden), en dit doe je ook met ∆s, wordt de vergelijking: v_gem = lim ∆s-0, lim ∆t-0 ∆s/∆t=ds/dt. Maar omdat je gebruik maakt van limieten, wordt de vergelijking v=ds/dt.

Alleen als je de limiet van ∆t én ∆s neemt, kun je v_gem toch veranderen naar instantane snelheid? En als laatste: hoe noteer je dit dan? Bijvoorbeeld v_instantaan = lim ∆s-0, lim ∆t-0 ∆s/∆t=ds/dt?
Heel erg bedankt voor alle duidelijke uitleg en moeite die je ervoor hebt gedaan om mijn vragen te beantwoorden!

135455
29-12-2015

Antwoord

∆s en ∆t gaan niet 'apart van elkaar' naar nul. s hangt af van t. Bij elke waarde van ∆t behoort precies één waarde van ∆s.
Laten we als eenvoudig voorbeeld nemen:

s=t²

Dit betreft bijvoorbeeld een optrekkende auto. We vragen ons af: wat is de snelheid op tijdstip t=1?
We beginnen met het berekenen van de gemiddelde snelheid in het tijdsinterval t=1 tot t=2. In dit interval neemt s toe van 1 (=1²) tot 4 (=2²). Dus:
∆s=3
∆t=1
Gemiddelde snelheid: ∆s/∆t = 3/1 = 3 m/s.
Dit is een hogere waarde dan 'de' snelheid op t=1, want na t=1 rijdt de auto harder waardoor de gemiddelde snelheid hoger uitvalt.

Een betere benadering van 'de' snelheid op t=1 vinden we door ∆t kleiner nemen. Daarbij hoort automatisch een kleinere waarde van ∆s (want we moeten ∆s nemen die bij ∆t hoort). We kiezen bijvoorbeeld ∆t=0,2:

Voor het interval t=1 tot t=1,2 vinden we:
∆s=0,44
∆t=0,2
Gemiddelde snelheid: ∆s/∆t = 0,44/0,2 = 2,2.

Voor het interval t=1 tot t=1,001 vinden we:
∆s=0,002001
∆t=0,001
gemiddelde snelheid: ∆s/∆t = 0,002001/0,001 = 2,001.

Wanneer we ∆t naar nul laten naderen, zal ook ∆s naar nul naderen, maar -heel belangrijk: de verhouding ∆s/∆t ligt steeds vast. Aangetoond kan worden dat deze verhouding ∆s/∆t nadert naar precies 2,0 wanneer ∆t naar nul gaat. We concluderen dan ook: 'de' snelheid op t=1 bedraagt 2.

We nemen dus geen limiet van ∆t of ∆s, maar de limiet van de breuk ∆s/∆t. We noteren dit als:

$
\eqalign{\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}}
$

Hiermee wordt bedoeld: de limietwaarde van ∆s/∆t in het geval dat ∆t naar nul gaat. Deze limietwaarde wordt ook genoteerd als ds/dt.

OK zo?

GHvD
29-12-2015