WisFaq!

Wiskundige deel van de tweede wet van Newton

Deze vraag heeft met natuurkunde te maken. Ik hoop toch dat hij op WisFaq! beantwoord kan worden, omdat het veel met wiskunde en bewijzen te maken heeft.

De tweede wet van Newton luidt: '∑F=ma', oftewel 'De resulterende kracht op een voorwerp is gelijk aan de versnelling van dat voorwerp maal de massa van dat voorwerp.' Als je de instantane kracht wilt weten, gebruik je in deze vergelijking de instantane massa en versnelling, als je de gemiddelde kracht wilt weten, gebruik je de gemiddelde massa en versnelling enzovoorts.

Ik vind de volgende wiskunde op wikipedia en anders sites:

De resulterende kracht op een voorwerp is gelijk aan de snelheid van verandering van impuls. ∑F=∆p/∆t=∆(mv)/∆t. Tot hier snap ik het, maar dan volgt dit: ∆(mv)/∆t=v∆m/∆t+m∆v/∆t=v∆m/∆t+ma. Zie voor een duidelijke weergave 'https://nl.wikipedia.org/wiki/Wetten_van_Newton#De_tweede_wet_van_Newton:_kracht_verandert_de_snelheid'.

Ik vertelde net al over instantane en gemiddelde kracht, versnelling en massa, dus ik snap niet helemaal wat hier in bovenstaande vergelijking bedoeld wordt. Ik probeer het bewijs van de tweede wet van Newton te snappen. Zelf kan ik met mijn wiskunde niet komen op deze bovengenoemde oplossing. Mijn vraag is dus of jullie, puur met wiskunde, deze formule af kunnen leiden uit ∑F=∆p/∆t en p=mv, en een uitleg kunnen geven of jullie hierin gebruik maken van instantane of gemiddelde.

Hopelijk kan deze vraag beantwoord worden op WisFaq!, alvast bedankt.

135455
26-12-2015

Antwoord

Allereerst even dit over de notatie: wanneer je een (kleine) verandering van bijvoorbeeld een snelheid of tijd wilt aangeven, kan je het symbool ∆ (delta) gebruiken:

∆v is een verandering van snelheid,
∆t is een verandering van tijd

∆v/∆t is dan een gemiddelde versnelling in dit tijdsinterval. Wanneer het tijdsinterval ∆t naar oneindig klein nadert, dan wordt dit tijdsinterval een tijdstip en spreken we niet meer van een gemiddelde versnelling, maar over de versnelling op dat moment. In plaats van het delta-teken ∆ gebruiken we dan een letter d:

dv/dt geeft de versnelling weer: a=dv/dt

De formule ∑F=dp/dt geldt altijd. In woorden geeft dit aan: de snelheid waarmee de impuls p verandert op een bepaald tijdstip t is gelijk aan de resulterende kracht F die op dat werkt op de betreffende massa.
De formule ∑F=∆p/∆t geldt alleen wanneer de resulterende kracht gedurende het tijdsinterval ∆t constant is. Wanneer ∑F niet constant is, mag je wel gebruiken:
∑F_gemiddeld=∆p/∆t.

Nu de eigenlijke vraag. We gaan uit van p=mv, dit is de definitie van impuls: een massa m die beweegt met een snelheid v, heeft een impuls van m·v. Deze grootheid geeft de hoeveelheid beweging weer de 'in de bewegende massa zit'.
Wanneer je dit een lastig begrip vindt, denk dan aan het volgende:

Stel, je schiet een voetbal van 0,5 kg weg met een snelheid van 12 m/s. De voetbal heeft dan een impuls van 0,5x12=6 kg·m/s. Als jouw vriendje precies zo'n zelfde voetbal met precies dezelfde snelheid wegschiet, dan hebben jullie samen twee keer zoveel beweging gemaakt. Volgens de formule klopt dit: de totale bewegende massa is nu 1,0 kg, de impuls wordt 1,0x12=12 kg·m/s.
Schiet je in je eentje een bal met dubbele snelheid weg, dan heb je ook twee keer zoveel beweging gemaakt. De impuls is dan 0,5x24=12 kg·m/s. (Verwar impuls niet met energie!)

Nu heeft Newton gevonden: de resulterende kracht op een voorwerp is gelijk aan de snelheid van verandering van impuls. In formule:

∑F=dp/dt (niet de delta-tekentjes, het gaat om de kracht om een zeker moment!)

Wiskundig is dit: de afgeleide van p. We gaan dus differentiëren. We wisten al:
p=m·v, dus het product van twee functies m en v. We moeten dan de productregel toepassen:

p' = m'·v + m·v'

anders geschreven:

dp/dt = dm/dt·v + m·dv/dt

met ∑F=dp/dt en a=dv/dt wordt dit:

∑F = v·dm/dt + m·a

Dit is de tweede wet van Newton. Hopelijk is het hiermee duidelijker. Zo niet, reageer gerust, geef dan aan welke stappen lastig zijn.

GHvD
26-12-2015