WisFaq!

Rationale functies en limieten

Hoi,

Ik heb een vraagje, ik snap niet wat rationale functies inhouden en wat de lim inhoud.

Een vraag is bijvoorbeeld:

$
f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x^2 \,\,voor\,\,x < 0 \\
x + 2\,\,voor\,\,0 \le x \le 2 \\
4\,\,voor\,\,x > 2 \\
\end{array} \right.
$

1. Bereken lim x$\to 0^-$f(x)
2. Bereken lim x$\to 0^+$f(x)
3. Bereken lim x$\to0 $ f(x)

Bedankt alvast!

sahil
27-9-2015

Antwoord

Een rationale functie is een functie die het quotiënt is van twee veeltermen. Denk aan formules als f(x) = (6x - 5) / (2x² + 7x - 3) of g(x) = (4x³ + 7) / (2x - 1) enz.
Je komt er geen goniometrische functies, logaritmische functies, wortelfuncties en dat soort gevallen in tegen.

Wanneer je van de gegeven functie een grafiek tekent (doen!!), dan krijg je links van 0 de halve parabool y = x², vanaf 0 tot en met 2 een stukje van de lijn y = x + 2 en vanaf 2 een horizontale lijn op hoogte 4.
Wat de limieten betreft, moet ik een beetje gokken wat de betekenis is want deze notatie is mij onbekend.
Bij vraag a) denk ik dat het de bedoeling is dat het getal x vanaf de negatieve kant naar 0 gaat.
Omdat je dus links van 0 zit, zit je grafisch gesproken op de halve parabool y = x².
Die halve parabool gaat naar het punt (0,0) toe, dus wanneer je het getal x steeds dichter bij 0 (de eerste coördinaat) laat komen, wordt je uitkomst steeds meer geljk aan 0 (de tweede coördinaat).
Die uitkomst 0 is de gevraagde (linker)limiet.
b) Nu breng je x opnieuw steeds dichter naar 0, maar nu vanaf de positieve kant. Dan zit je dus op dat stukje van de lijn y = x + 2. Wanneer je nu x naar 0 laat zakken, dan komt er steeds meer 2 uit (0 + 2 = 2) en die uitkomst 2 is de gevraagde (rechter)limiet.
c) Je zag dat naderen van x tot het getal 0 verschillende resultaten oplevert, afhankelijk van de vraag of je van links of van rechts komt. Omdat er verschillende uitkomsten gevonden werden, zegt men bij vraag c) dat dé limiet niet bestaat.

MBL
28-9-2015