De definitie van een eigenvector: als f:V$\to$V een lineaire transformatie van een vectorruimte R,V,+ en v verschillend van 0 een element van V. Noemen we v en eigenvector voor f als en slechts als voor elke alfa die een element is van R geldt dat f(v) = alfa·v. Maar ik snap iets niet zo goed. in de definitie van vectorruimte staat vermeld dat er een neutraal element (0) moet zijn zodat v+0=0+v=v Maar in de definitie van eigenvector staat vermeld dat v verschilt van 0, maar dan is het toch geen vectorruimte meer ?!
Nog een extra vraagje: als je de eigenvectoren van een matrix berekent zijn deze altijd lineair onafhankelijk?
Alvast bedankt!Elke
19-5-2015
Beste Elke,
We noemen $\vec v$ een eigenvector van een lineaire transformatie $f$ als die vector door $f$ afgebeeld wordt op een veelvoud van zichzelf. Met andere woorden, als er een reëel getal $\alpha$ bestaat (niet 'voor alle'!) zodat
$$f(\vec v) = \alpha \vec v$$Aangezien de nulvector door elke lineaire afbeelding afgebeeld wordt op de nulvector en de nulvector duidelijk een veelvoud van zichzelf is, is de nulvector in deze definitie altijd een eigenvector. Omdat deze voor verdere toepassingen en eigenschappen geen 'interessante' eigenvector is, wordt die gewoonlijk uitgesloten in de definitie. De eerder vermelde definitie blijft dan aangehouden, maar met de bijkomende eis dat $\vec v \ne \vec o$.
Verderop ben je volgens mij wat in de war. De ruimte $V$ is een vectorruimte en $f$ gaat van $V$ naar $V$. In $V$ bestaat er dus een neutraal element, maar dat neutraal element hoeft zelf toch geen eigenvector van $f$ te zijn...? De vectorruimte op zich heeft overigens geen 'eigenvectoren', die horen bij een lineaire transformatie.
Wat je extra vraag betreft: wanneer je de eigenvectoren van een lineaire afbeelding (of van de bijhorende matrix) wil bepalen, ga je in principe net op zoek naar lineair onafhankelijke eigenvectoren. Bij verschillende eigenwaarden horen lineair onafhankelijke eigenvectoren, maar bij een bepaalde eigenwaarde vind je niet noodzakelijk meer dan één lineair onafhankelijke eigenvector.
mvg,
Tom
td
19-5-2015
#75621 - Lineaire algebra - Student Hoger Onderwijs België