WisFaq!

De ontmoeting van twee toevalsbewegingen

Beste wisfaq,

We beschouwen twee toevalsontmoetingen (Sn)n$\ge$1 en (Tn)n$\ge$1

De stap X heeft verdeling

P(X=e_q)=1/2d , P(X=-e_q)=1/2d

De twee toevalsontmoetingen zijn onafhankelijk.

S₀=0 en T_n=x voor een zekere x in Z^d.


(Sn) en (Tn) ontmoeten elkaar als er een n$\ge$1 bestaat zodat Sn=Tn.

Ik wil graag het volgende bewijzen:

(a) Als ||x||:=|x₁|+...+|xn| oneven is, dan geldt voor ieder d$\ge$1, P(Sn=Tn)=0.

(b) Als ||x|| even is, dan geldt voor ieder d$\ge$1, P(Sn=Tn)$>$0. Wanneer is deze kans gelijk aan 1?

Ik weet niet goed wat voor resultaten (theorie, lemma) ik nodig heb om (a) en (b) te bewijzen. Het enige wat ik heb kunnen vinden is het boek van Gregory F. Lawler, waar in hoofdstuk 10 de kans op de ontmoeting van toevalsbewegingen wordt behandeld. De kans dat twee toevalsbewegingen elkaar ontmoeten wordt bewezen in een theorie. Ik ben niet helemaal zeker of dit de theorie is die ik nodig heb.

Groeten,

Viky

viky
14-4-2015

Antwoord

Het is niet geheel duidelijk hoe de wandelingen gedefinieerd zijn.
Het lijkt of bij elke stap alle coordinaten met $1$ of $-1$ veranderen. Voor (a) moet je dan even kijken of $d$ even is of oneven.
Als $d$ even is blijft $\|T_n\|$ altijd oneven en $\|S_n\|$ altijd even.
Als $d$ oneven is zijn $\|S_n\|$ en $\|T_n\|$ beurtelings even en oneven maar als de één even is is de ander oneven en omgekeerd.
Voor (b) zou ik naar $T_n-S_n$ kijken dat is dan een wandeling langs de punten met een even norm en in dat geval zijn er wel rijen gebeurtenissen die leiden tot waarden van $n$ met $S_n-T_n=0$.

kphart
21-4-2015