WisFaq!

Bewijs middelloodlijn

Er moet analytisch bewezen worden dat de middelloodlijn van een lijnstuk [AB] de meetkundige plaats is van alle punten even ver van A en B.

Situatie 1: zelfgekozen assenstelsel
In dit assenstelsel leggen we het lijnstuk op de X-as, het midden valt samen met de oorsprong. We kiezen een punt P.

Er is gegeven dat we moeten starten met:
|AP|²=|BP|²
Gebruikmakend van de rico en het midden moeten we uiteindelijk komen tot y=((x1-x2)/(y2-y1))x+((y2²-y1²-x1²+x2²)/(2(y2-y1))) --$>$ vergelijking middelloodlijn

Situatie 2: een opgelegd assenstelsel met A(x1,y1) en B(x2,y2)
1) Aantonen dat een willekeurig punt op de middelloodlijn even ver ligt van A als van B.
2) als een punt even ver van À als van B ligt, dan ligt het op de middelloodlijn.

Wie wil me wat helpen, na uren zoeken ben ik er nog steeds niet uit!

Marlies
12-4-2015

Antwoord

Bij 1) zou ik de punten A en B voorstellen als (-c,0) en (c,0) met c$>$0. A ligt dus links van de oorsprong en B rechts ervan.
Neem nu een willekeurig punt P(x,y) en schrijf de gekwadrateerde afstanden van PA en PB op.
PA² = (x + c)² + y² en PB² = (x - c)² + y².
Dit moet gelijk zijn. Na uitwerking hou je over dat y = 0 zodat P op de y-as ligt. De Y-as is dus de middelloodlijn.

Bij 2) stel ik A(a,c) en B (b,d) zodat al die eentjes en tweetjes vermeden worden.
Het midden M is dan M(¹/₂(a + b),¹/₂(c + d))
De rc van AB is (d - c)/(b - a) en van een lijn hier loodrecht op is de rc dan gelijk aan (a - b)/(d - c).
Dit volgt uit de stelling dat het product van de rc's gelijk -1 moet zijn.
De middelloodlijn m heeft dan een vergelijking van de vorm
y = [(a - b)/(d - c)]x + p en door de coördinaten van het midden M in te vullen vind je p = ¹/₂(d² - b²) - ¹/₂(a² - c²) waarmee je de middelloodlijn te pakken hebt.

Nu zou je een willekeurig punt P(x,y) moeten nemen en weer de afstanden tot A en B opschrijven en gelijkstellen.
Maar het wordt een bijna onfatsoenlijke hoeveelheid lettertjes waar ten slotte dan de middelloodlijn uit moet komen.
Het nut van deze hele rekenactie ontgaat me enigszins. Als de punten A en B niet op de 'normale' assen liggen, dan kies je toch gewoon nieuwe assen? Dan herhaalt zich vraag 1) en klaar ben je.

MBL
13-4-2015